ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Измерение некоторой величины за­ключается в сравнении ее с другой, принятой за единицу. Различают пря­мые и косвенные измерения.

Прямые (непосредственные) изме­рения предполагают непосредственное сравнение измеряемой величины с единицей измерения.

Косвенные (посредственные) изме рения — это измерения, когда измеря­емая величина рассчитывается как функция от одной нли нескольких других, прямо измеряемых величин.

Погрешность — разность между измеренным значением величины X и ее ИСТИННЫМ значением Хист:

Л — — г — Хист

По происхождению иогрс шиости подразделяют на личные, инструмен­тальные, внешние, методические, по­грешности модели, погрешности клас­сификации.

Личные погрешности возникают вследствие ограниченных возможно­стей органов чувств наблюдателя. Например, личная погрешность изме­рения высоты светила секстантом

Инструментальные (приборные) погрешности вызваны неточностью изготовления, установки и настройки прибора, с помощью которого осуще­ствляются измерения.

Внешние погрешности связаны с влиянием иа прибор внешней среды (например, толчки, вибрация, колеба­ния температуры).

Методические погрешности вызва­ны несовершенством методов изме­рений, заложенных в приборе, и об­работки их результатов. Эти по­грешности порождаются неучетом различных факторов, аппроксимация­ми, округлениями и т. д.

Погрешности модели возникают вследствие несовпадения реального измеряемого объекта и его математи­ческой модели, принятой в выбран­ном методе измерения. Например, расстояние, измеренное иа карте, со­держит погрешность, обусловленную выбранной картографической проек­цией.

Погрешности классификации воз­никают тогда, когда параметры по­стороннего объекта относятся к рас­сматриваемому объекту. Пример: пс ленгация неверно опознанного ори­ентира.

По своему характеру погрешности классифицируются на систематические и случайные.

Систематическими называются по­грешности, возникающие всякий раз при данных ус. юннях измерения. Си­стематические погрешности подразде­ляют на постоянные и переменные.

Постоянные систематические по­грешности сохраняют свой знак и ве­личину в широком диапазоне условий измерения. Например, погрешность измерения стрелочным прибором с равномерной шкалой, вызванная не­точной установкой стрелки на оси.

Переменные систематические по­грешности зависят от времени или значения измеряемой величины. На пример, погрешность отсчета времени но часам, вызванная их суточным хо­дом.

Случайными называются погреш­ности, зависящие от большого числа различных причин. Они могут принц мать различные значения при много­кратных измерениях в одних и гех же условиях.

Грубой погрешностью (промахом) называется частный вид случайной погрешности, когда она намного пре­восходит заданные (нормальные, пас портные) характеристики измеритель­ного прибора. Промахи возникают при резком нарушении условий изме­рения, неисправности прибора, гру­бых ошибках персонала. Погрешности классификации всегда относятся к категории промахов.

Погрешность называют абсолют­ной погрешностью измерения.

Относительная погрешность изме­рения — это отношение абсолютной погрешности к измеряемой величине

Ацтн ^ Хц(- г •

Поправкой и называется величи­на, отличающаяся от абсолютной по­грешности только знаком и служа­щая для определения истинного зна­чения измеряемой величины:

и= —Л, л„Ст х hit.

Разделение погрешностей иа си­стематические и случайные является в известной мере условным и зависит от того, что понимать иод условиями измерения.

Систематические погрешности ча­сто могут быть определены и устра­

нены, поэтому большее внимание у де — ляется изучению случайных погреш­ностей. С этой целью используется математический аппарат тдюрни веро ягностей и математической стати стики.

Случайным событием называется такое явление, которое при выполиг вин заданного комплекса условий (определенного опыта) молуст про изойти или не произойти.

Полной группой событий называ стся совокупность событий, из кото рых при выполнении опыта хотя бы одно должно непременно произойти |

Несовместными называют такие события, появление одного из кото рых в опыте исключает возможность появления другого.

Противоположными называются ша события, образующие полную группу несовместных событий. В ре­зультате опыта обязательно произой |СТ либо одно, либо другое событие, но не оба одновременно

Вероятностью случайного события | называется число, характеризующее степень возможности наступления этого события при определенных ус ловиях. Вероятность события /1 обо­значается Р(А) или Р и принимает значення от 0 ло 1.

Событие, которое при выполнении определенных условий должно непре — | менно произойти, называется досто верным. Если Л достоверно, то,

Р(Л) = 1.

Событие, протнвоподожное досто нериому, называется невозможные Оно нс может произойти при данных условиях. Для невозможного события Р(А )=0.

Условной вероятностью события Л называется вероятность этого собы тия. вычисленная при условии, что произошло ipvroe событие В Об ) значается Р(А/В).

Два события называются незипи симыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появле пия другого.

Суммой нескольких событий назы­вается событие, состоящее и появле­нии хотя бы ОДНОГО 113 них.

Произведением нескольких собы тин называется событие, заключаю­щееся в совместном их появлении.

Для любых двух событий А и В справе и шы следующие выражения (А и А обозначают противополож­ные события):

Р (ЛИ Р (Л) — I:

Р (АВ) Р (Л) Р (В А)

Р (В) Р (А В).

Для несовместных событий

Р (А + В) Р (Л) | Р (В).

Для независимых событий

Р (АВ) Р (А) Р (В).

Если событие А может произойти вместе с одним из событий Hi, Hz, ., Hr,, образующих полную группу несовместных событий, то справедливо соотношение (формула полной вероятности):

і п

Р (Л) V р (Ні) Р (Л Ні). (П.11)

і“і

Если известно, что событие Л про­изошло, то вероятность того, что оно произошло вместе С событием Hi, может быть оценена по формуле Бай­еса:

Р (Hj) Р (A Hj)

V Р (Ні) Р (А Ні)

i= 1

(П.12)

Частотой события Л называется отношение числа m появлений собы­тия А к общему числу опытов п:

і — m п.

При неограниченном увеличении чипа однородных независимых опы­тов с практической достоверностью можно утверждать, что частота со­бытия будет сколь угодно мало от­личаться от его вероятности в от­дельном опыте.

Случайной называется величина, которая в результате опыта может принимать различные заранее неизве­стные числовые значения. Различают шекретные и непрерывные случай­ные величины. Дискретная случайная величина может принимать только от­
дельные, изолированные значення. Непрерывная случайная величина мо­жет принимать любые значения из некоторого интервала.

Всякое соотношение, устанавлива­ющее связь между возможным зна­чением случайной величины и вероят­ностью его появления называют зако­ном распределения.

Функцией распределения F(х) на­зывается вероятность того, что слу­чайная величина х* примет значение, меньшее некоторого значения х:

F (х) Р (х* х I.

Функция распределения облагает следующими свойствами:

О < F (л) *£ 1;

F (г,) < F (х2) при < х2.

Для непрерывных случайных вели­чин в качестве закона распределения часто используется плотность распре­деления. определяемая как производ­ная от функции распределения f(x)=F'(x). Она обладает следую­щими свойствами:

+ ОС,

i(x)> 0; f(x)dx 1

— OU

Характеристикой центра распреде­ления является математическое ожи­дание случайной величины, определя­емое для дискретных и непрерывных величин

П — f оо

тх =Х/>іА‘м П, Х J Xf(x)d,

I — 30

где Xi. pi — значения дискретной слу­чайной величины и соответствующие им вероятности.

Математическое ожидание тх ха­рактеризует среднее значение случай­ной величины, относительно которого рассеиваются все возможные ее зна­чения. Математическим ожиданием погрешности измерения является си­стематическая погрешность.

Дисперсией Dx случайной величи­ны называется математическое ожида­ние квадрата отклонения случайной

величины от ее математического ожи — іания тх:

п

Dx — ^Pi (Х| — Wj);

I

+ <®

Dx — J (х — mxyf(x)dx

ОС

Часто используется среднее квад­ратическое отклонение случайной ве­личины, определяемое как положи­тельное значение квадратного корни из дисперсии nr=-f"l/Dx.

Применительно к погрешностям используется термин средняя квадра­тическая погрешность (СКП) измере­ния. Дисперсия и СКП характеризу­ют меру рассеяния случайной величи­ны (погрешности) относительно ее математического ожидания (среднего значения)

Для вероятности того, что случай­ная величина отклонится от сво­его математического ожидания на величину, большую, чем k средних квадратических отклонений,

P(|x*-mx|>*<Tx)<-J-. (П 13)

Ri

Пусть Л([х*] и D[x*]—символы нзятия математического ожидания и дисперсии Тогда, если с — постоян­ное число, то

М |с| =0; Dc 0;

Л1|сх*] — c/Vl[x*|;

D |гх*|- с2 D [х*|. (П 14)

Вероятность того, что непрерыв­ная случайная величина с функцией распределения F(x) и плотностью распределения f(x) примет значение в интервале от а до $, может быть определена как

Р (ос < х* < Р) Р(Р)—Р(а)

Р

J / (х) dx. (П 15)

а

Корреляционным моментом слу­чайных величин х* и у* называется математическое ожидание пронзведе-
нин отклонений этих случайных ве личии от их математических ожида­ний м, и т„:

Kxv м |<х*—mr) (у*— т„)|.

Величина, определяемая соотиоше иием |і=КІ|,'(аіС(), называется ко лффициентом корреляции. Он лежит в пределах —lsgp<-H и характе ризует степень вероятностной связи двух случайных величии. Для неза висимых случайных величин р=0. Однако это равенство не является до­статочным условием их независимо СТИ. При ()= ± 1 между х и у имеет ся функциональная (невероятиост — ная) связь.

Для описания случайных погрет иостей измерения наиболее часто нс пользуются законы распределения равномерной плотности: нормальный, двусторонний экспоненциальный и Рэлея (рис. П.11).

Нормальный закон распределения имеет место, когда погрешность из­мерения является суммой многих ма лых погрешностей. Плотность иор мального распределения

(* mv)2

1 2а1

1(х) =————— е. (П.16)

1/2л ах

где гпя — математическое ожидание; а* — среднее ква трагическое откло­нение.

Функция распределения

F(x) =

‘1ля удобства выполнения расче­тов при использовании нормального закона введена функция

t* X

(П.171

которая затабулнронана (табл. П2) Т-)та функция является нечетной Ф(х) =—Ф(х).

Формулы для определения веро­ятности попадания нормальной слу­чайной величины в заданный интер­вал приведены в табл. П. З. Для нор малыюго закона вероятность откло­нения случайной величины от своего математического ожидания на вели чину менее о, составляет 0,68, на ве­личину менее 2 о* — 0,95, а на вели чипу менее 3 о, — 0.997. Последнюю величину часто считают практически равной единице, a та1 = 3 о* назы­вают максимальным отклонением («правило трех сигм»).

Если случайная величина с очи паковой вероятностью может при нить любое значение иа интервале [Шг—I, тж + 1], то она распределена по закону равномерной плотности

/(*) =

I

_ — при тх—1^.х^тх—1

0 при дг cm*—I и лс>/лх+/- (П 18>

Характеристики этого распределения приведены в табл. П. З.

Плотность распределения двусто роннего экспоненциального закона (распределение Лапласа)

1

У2ох где тх — математическое ожидание; Ох — среднее квадратическое откло­нение.

При выполнении косвенных изме­рений измеряемую величину у нахо­дят функциональным преобразовани­ем результатов прямых измерений нескольких величин х,:
а)Ф)

6) Ял)

тх

д Рис. П.11. Плотности законов рас пределеиия случайных величии: а—- равномерной плотности; б — двусто ронний экспоненциальный (Лапласа); в — нормальный; г — Рэлея

		df
dxt	т. т, — г	ПІ у dxt *
	, 61	mT T xn
“Г • • *	дхп

+ (П.20)

а средняя ква тратичсская погреш­ность (при независимых погрешно­стях измерения величии Xj)

«/=7(*і. *,.)

В этом случае для оценки харак­теристик погрешностей определения у пользуются методом линеаризации. Математическое ожидание погрешно­сти (систематическая погрешность)

"•-і/і * г’

dt

А. 2 Г Таблица П.2. Значення функции Ф (а") =———— — у 2 л J X Ф(дг) X Ф(*) X Ф(*> А’ Ф(ДГ) X ф(*> X Ф(ДГ) 0.00 0 ,0000 0,45 0,3473 0,90 0,6319 1,35 0,8230 1,80 0.9281 3,50 0,99953 01 0.0080 46 0,3545 91 0.6372 36 0,8262 81 0.9297 60 0,99968 02 0.0160 47 0.3616 92 0,6424 37 0.8293 82 0,9312 70 0,99978 03 0,0239 48 0,3688 93 0,6476 38 0,8324 83 0,9328 80 0,99986 04 0.0319 49 0,3759 94 0.6528 39 0,8355 84 0,9342 90 0,99990 0,05 0.0399 0.50 0.3828 0.95 0,6579 1,40 0.8385 1.85 0,9357 4,00 0,99994 06 0,0478 51 0.3899 96 0,6629 41 0,8415 86 0,9371 07 0,0558 52 0,3969 97 0,6680 42 0,8444 87 0,9385 08 0,0638 53 0.4039 98 0.6729 44 0,8473 88 0,9399 4,417 1 — 10 5 09 0,0717 54 0.4108 99 0,6778 44 0,8501 89 0,9412 0.10 0,0797 0,55 0.4177 1 .00 0,6827 1,45 0,8529 1 90 0,9426 4,892 1 —10—6 II 0,0876 56 0,4245 01 0,6875 46 0.8557 91 0,9439 5,327 1 —10- 12 0.0955 57 0.4313 02 0,6923 47 0,8584 92 0,9451 13 0,1034 58 0,4381 03 0.6970 48 0,8611 93 0,9464 14 0,1113 59 0,4448 04 0,7017 49 0,8638 94 0,9476 0.15 0,1192 0,60 0,4515 1 .05 0,7063 1.50 0,8664 1,95 0,9488 16 0,1271 61 0.4581 06 0.7109 51 0,8690 96 0,9500 17 0.1350 62 0,4647 07 0,7154 52 0,8715 97 0.9512 18 0.1428 63 0.4713 08 0,7199 53 0,8740 98 0,9523 19 0.1507 64 0.4778 09 0-7243 54 0,8764 99 0,9534 0,20 0,1585 0.65 0,4843 1,10 0,7287 1,55 0,8789 2,00 0,9545 21 0,1663 66 0,4907 11 0-7330 56 0,8812 05 0,9596 22 0.1741 67 0,4971 12 0,7373 57 0,8886 10 0,9643 23 0,1819 68 0.5035 13 0.7415 58 0,8859 15 0.9684 24 0.1897 69 0,5098 14 0.7457 59 0.8882 20 0.9722 0.25 0.1974 0.70 0,5161 1.15 0,7499 1 60 0 8904 2,26 0,9756 26 0,2051 71 0,5223 16 0.7540 61 0,8926 30 0,9786 27 0,2128 72 0,5285 17 0,7580 62 0,8948 35 0,9812 28 0,2205 73 0.5346 18 0.7620 63 0,8969 40 0,9836 29 0,2282 74 0.5407 19 0,7660 64 0,8990 45 0,9857 0,30 0.2358 0.75 0,5467 1 .20 0,7699 1.65 0,9011 2,50 0,9876 31 0.2434 76 0,5527 21 0,7737 66 0,9031 55 0,9892 32 0,2510 77 0.5587 22 0.7775 67 0,9051 60 9,9907 33 0,2586 78 0,5646 23 0,7813 68 0,9070 65 0,9920 34 0,2661 79 0.5705 2* 0.7850 69 0,9093 70 0,9931 0.35 0,2737 0,80 0,5763 1.25 0,7887 1,70 0,9109 2,75 0,9940 36 0,2812 81 0,5821 26 0,7923 71 0,9127 80 0,9949 37 0,2886 82 0.5878 27 0,7959 72 0,9146 85 0,9956 38 0,2961 83 0,5335 28 0,7995 1 73 0,9164 90 0,9963 39 0.3035 84 0,5991 29 0,8029 74 0,9181 95 0,9968 0,40 0.3108 0,85 0.6047 1,30 0.8064 1,75 0,9199 3,00 0,99730 41 0,3182 86 0,6102 31 0,8098 76 0,9216 10 0,99806 42 0,3255 87 0,6157 32 0,8132 77 0,9235 20 0,99863 43 0,3328 88 0,6211 33 0.8165 78 0,9249 30 0,99903 44 0,3401 89 0,6265 34 0,8198 79 0,9265 40 0,99933

_________ I_________ 2лОд — ov 1/l — р* гыг — тх)2

где mXJ — математические ожидания погрешностей измерения хг. о».4 — средние квадратические погрешности

д{

измерения Хі gy.—значения част-

ных производных функции / ПО Xi в точке, соответствующей измеренным значениям х,.

Формулы (П.20). (ГІ.21) примени­мы в случае, если соответствующие производные не обращаются в нуль. Некоторые частные случаи форму­лы (П.21) приведены в табл. П.4.

Если Хі являются зависимыми, то вид формул для расчета СКП изме нится. Так, если погрешности измере­ния Х| Н Л’2 коррелнрованы с коэф­фициентом корреляции р, то ДЛЯ функции

У ~ х, + хг

формула расчета СКГ1 будет иметь вид

ау | о?,+< + 2рОг1 o. Vj. (П.22)

Если результат опыта описывает­ся не одной, а днумя или более слу­чайными величинами, то они образу­ют систему случайных величин (слу­чайный вектор). Систему двух слу­чайных величин (х*, у*) можно изоб­разить случайной точкой на плоско­сти с координатами х, у.

Плотность распределения системы двух случайных величин, подчинен ных нормальному закону, описывает­ся формулой

П*. У)

( I И’ тх

ехр{

-••(‘ "**)(« %) (U

(П.23)

г |с тх. т„ — математические ожида­ния случайных величин х и у: ах, о,, — средине квадратические откло­нения случайных величин; р — коэф­фициент корреляции.

Сечение поверхности распределе­ния (рис. П. І2) плоскостью, нарал­
лельной плоскости ОХУ, дает эллипс, называемый эллипсом рассеивания. В теории погрешностей измерения его называют также эллипсом ошибок (рнс. П.13). При рч*=0 оси эллипса ошибок образуют с осями X и У не­который угол

tg 2а 2рог п*) (п 24>

Если оси системы координат вы­брать параллельными главным осям эллипса, а начало координат в точке тх. т„, то в новой системе коордн нат ОХУ уравнение двухмерного нор­мального закона

Их, у) — (П.25)’

Закон	Плотность распределения	Математи­ческое ожи дайме
Равномерной плотности	і j /(0 ^2Г"ридг l-v-n «,+П І (1 при XIі — Ид— /, Щд+П	ч* ,пї
Нормальный	(л “.»)* І /(А) — Є Ґ2я пд.	m V
Лапласа	1 "^’Л mJ fix) ._ е У 2 Од	mx
Рэлея	1 — X 2d* / (V) — — е чри х>° 1 0 при х < 0	/?•

а новые случайные величины х* и у* будут некоррелированными

Единичным эллипсом рассеивания называется эллипс рассеивания, у ко­торого полуоси равны ох и о„ (глав­ным СКГІ двухмерного нормального распределения).

Вероятность попадания случайной точки в эллипс в с раз больший еди ЯИЧНОГО (с полуосями СОх и С0У)

__

1-е 2 , (П.26)

а значения с, соответствующие задан­ной вероятности Р,

Значения ) — In (I — Р) приведет в табл. ГІ.5.

Если главные CKI1 равны между собой, то распределение (П.25) пазы вается круговым (эллипсы нревра щаются в окружность).

Средним квадратическим радиаль ным отклонением (в теории погрет ностей — средней квадратической ра диальной погрешностью) называется величина, численно равная диагонали прямоугольника, построенного на по луосях единичного эллипса рассей вания

Для кругового распределения а,=0„ и аг — У2 ад = /2 ау.

В теории погрешностей двухмер нос нормальное распределение при приближенных расчетах иногда за­меняют круговым распределением При этом средняя квадратическая по грешность по любому направлению от центра рассеивания 0м = Ог/У2. Вероятность попадания в круг задан­ного радиуса гзад

г*

гэад иг

Р = 1-е (П 28)

При гзад=Or вероятность состав ЛЯЄТ Р = 0.63, при Гзад = 2 0г Р = 0,98,

а прн гаад = Зог Я=0,95. Формула (П 28) даст тем более точный резуль­тат, чем ближе рассеивание к круго вому (чем ближе друг к другу 01 и а„) По заданной вероятности можно найти

г3ад = «г V —In (1— Р). (П.29)

Если обозначить через г расстоя­ние случайной точки, подчиненной круговому закону распределения, от центра рассеяния (нс путать с коэф фициентом корреляции), то г будет распределена по законі/ Рэлея с па­раметром а = Ог/)2 (см. табл П. З).

При экспериментальной оценке точности навигационных определений

возникает необходимость оценки тх, т„ коэффициента корреляции р по экспериментальным данным Пусть в п опытах получены значения Xj слу­чайной величины х*. Тогда оценка математического ожидания

Они тем ближе к фактическим значе­ниям тх. ах, чем больше число опы тов. Для нормального распределения средние кпа трагические отклонения этих оценок

V (Xj —mT)2

Поскольку измеренные значення х, являются случайными, то и оценки тх, Ох также являются случайными.

Менее точная, но более простая оценка среднего кватратнческого от клонения величины. V* может быть получена с помощью размаха

Размахом выборки (совокупности измеренных значений х,) называется разность максимального хтах и ми-

начального е, П|П из измеренных зна ченнй х

Ч — Л’шах — *mln.

Среднее квадратическое отклоне­ние в этом случаї

ox=kR, (П. ЗЗ)

где коэффициент k зависит от л и приближенно может быть рассчитан как k

Статистические данные часто пред — ставляются графически в виде гисто­граммы. С этой целью весь интервал Измеренных Значений X, ОТ Xmm до •Ста» делят На ГП разрядов (обЫЧНО т= 8.. 12) равной иди неравной ве­личины так, чтобы в каждый разряд попало не менее 5 значений х,. Затем подсчитываются частоты nj, /= I, гп (число измеренных значений, попав­ших в данный разряд). На гисто­грамме строят столбики с высотой, равной п>.

Для оценки возможности описать полученные экспериментальные дан­ные каким-либо выбранным законом распределения используются крите­рии согласия. Для проверки гипотезы о том. что имеющиеся эксперимен­тальные статистические данные не противоречат выбранному закон) распределения, может быть использо­ван критерий хи квадрат

(nj — лр,)1

Хг — 1 . (П.36)

/ҐІ пр>

где пj — число измеренных значений, попавших в /-й разряд; Pj — теорети — ческая вероятность попадания слу­чайной величины в данный разряд при выбранном законе распределения.

Значения рj рассчитываются по

формулам, приведенным в табл. П.2 со значениями а и р, соответствую тими границам соответствующсп разряда. Затем опре іеляется числи степеней свободы

k m—1—/,

где / — число неизвестных царамет ров распределении, определяемых по данным выборки (для законов Лап ласа н нормального 1 = 2, для зако нов Рэлея н равномерной плотности ‘=1)

Затем задаются уровнем значн мости ц. Значение а имеет смысл до­пустимой вероятности того, что будет принято ошибочно’ решение о песо ответствии экспериментальных дан пых выбранному распределению Обычно принимается а = 0,1 …0,001

После этого с помощью специаль иых таблиц распределения хи-квад рат по заданным значениям и и k on редсляетея критическое значение Хкг Кслн рассчитанное значение хг мень­ше критического, то считают, что экс периментальные данные не противоре­чат предполагаемому теоретическому распределению (следует иметь в ьн ду, что один и те же эксперимен дальние данные могут не протнворе чнть различным распределениям).

Мри приближенной оценке нсполь зустся правило Романовского: эксне риментальные данные не противоре­чат теоретическому распределению, если

IX1-* I „

—— 7=~ < 3

V2*

Значения функции і/ = е * приве дсны в табл. П.6.

(2.13)

или приближенно

tgP -|(^ї — >-і) (ф, ф|)| X

[2] ■ «м|(ф, і-фг) 2). (2 14)

Длина локсодромии

S =(Фі—фі) cos Р (2. IS)

При путевых углах, близких к 90 или 270°, целесообразнее пользовать си формулой

S = [(Aj—Xt) sin PI COS |(((., ‘ ф2) 21

Для получения длины локсодро­мии в километрах угловые значении 5 должны быть переведены н мину ты дуги н умножены на 1,853.

Локсодромия длиннее ортодромии, но удлинение для малых н средних

[3] Отечественные барометрические приборы измеряют давление в милли­метрах ртутного столба.